تحلیل تنش های برشی در تیرهای بال پهن

تحلیل تنش های برشی در تیرهای بال پهن:

تیر بال پهن:
اگر یک تیر H یا اصطلاحاً «بال پهن» (Wide-Flange) مانند شکل زیر در معرض نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی (خمش غیر یکنواخت) قرار گیرد، تنش های نرمال و برشی بر روی مقاطع عرضی تیر به وجود می آیند.

توزیع تنش های برشی در یک تیر بال پهن پیچیده تر از توزیع این تنش ها در یک تیر مستطیلی است. به عنوان مثال، تنش های برشی موجود در بال های این تیر مانند شکل زیر در هر دو جهت عمودی و افقی (محور y و z) اعمال می شود. معمولاً تنش های برشی افقی در بال های تیر بسیار بزرگ تر از تنش های برشی عمودی هستند.

تنش های برشی موجود در جانِ یک تیر بال پهن تنها در راستای عمودی اعمال می شوند و بزرگ تر از تنش های موجود در بال ها هستند. مقدار این تنش ها با استفاده از روش های معرفی شده در مبحث «تحلیل تنش های برشی در تیرهای مستطیلی» قابل محاسبه است.

تنش های برشی در جانِ تیر:
به منظور تحلیل جانِ تیر، شکل زیر را در نظر بگیرید. مرحله اول تحلیل را با تعیین تنش های برشی موجود در خط ef شروع می کنیم.

به این منظور، همانند تحلیل تنش های برشی در تیرهای مستطیلی فرض می کنیم که این تنش ها در جانِ تیر بال پهن نیز موازی با محور y هستند و به طور یکنواخت در عرض (ضخامت) جان توزیع شده اند.

به این ترتیب می توان به راحتی از رابطه برش (τ=VQ/Ib) برای محاسبه تنش های برشی استفاده کرد. اگرچه، اکنون به جای عرض تیر b، ضخامتِ جان t مورد استفاده قرار می گیرد.

به علاوه، مساحت مورد استفاده برای محاسبه گشتاور اول Q، مساحت بین خط ef و لبه بالایی سطح مقطع تیر (ناحیه پررنگ) است.

هنگام تعیین گشتاور اول Q برای سطح پررنگ، از تأثیر ماهیچه (Fillet) در محل اتصال جان به بال (نقاط b و c) صرف نظر می شود. خطای حاصل از نادیده گرفتن این نواحی بسیار کوچک است. برای انجام محاسبات گشتاور اول، سطح پررنگ را به دو مستطیل مجزا تقسیم می کنیم. بالِ بالایی تیر به عنوان مستطیل اول در نظر گرفته می شود:

b: عرض بال؛ h: ارتفاع کل تیر؛ h1: فاصله داخلی بین بال ها

ناحیه بین خط ef و بال تیر (مستطیل efcb) را نیز به عنوان مستطیل دوم در نظر می گیریم:

t: ضخامت جان؛ y1: فاصله از محور خنثی تا خط ef

گشتاور اول نواحی A1 و A2 حول محور خنثی با حاصل ضرب مساحت این نواحی در فاصله مرکز هندسی شان تا محور z برابر است. با جمع گشتاورهای اول این دو ناحیه، گشتاور اول Q ناحیه پررنگ به دست می آید:

با جایگذاری عبارت های A1 و A2 در رابطه بالا و ساده سازی آن به رابطه زیر می رسیم:

به این ترتیب، تنش برشی τ جانِ تیر در فاصله y1 نسبت به محور خنثی برابر است با:

ممان اینرسی موجود در رابطه بالا به صورت زیر تعیین می شود:

تمام کمیت های رابطه τ به جز y1 کمیت های ثابت هستند. به همین دلیل، تنش برشی بر روی ارتفاع جانِ تیر به صورت درجه دو (سهمی وار) تغییر می کند (شکل زیر). نمودار نمایش داده شده در شکل زیر تنها برای جان تیر رسم شده و بخش بال های تیر را در برنمی گیرد.

توجه داشته باشید که رابطه معرفی شده در این بخش برای بال های تیر قابل استفاده نیست (دلیل این موضوع در بخش های بعدی توضیح داده خواهد شد).

تنش های برشی ماکسیمم و مینیمم:
تنش برشی ماکسیمم در یک تیر بال پهن بر روی محور خنثی (y1=0) و تنش برشی مینیمم در محل برخورد جان با بال ها (y1=±h1/2) رخ می دهد. به این ترتیب داریم:

برای تیرهای بال پهن معمولی، تنش ماکسیمم حدود 10 تا 60 درصد از تنش مینیمم بزرگ تر است. توجه داشته باشید که این تنش ماکسیمم (τmax) نه تنها بزرگ ترین برشی موجود در جانِ تیر بلکه بزرگ ترین تنش برشی موجود در تمام نقاط سطح مقطع محسوب می شود.

نیروی برشی موجود در جان:
نیروی برشی عمودی وارد شده بر جانِ تیر را می توان با ضرب مساحت زیر نمودار تنش برشی در ضخامت جان (t) به دست آورد.

نمودار تنش برشی شامل یک بخش مستطیلی با مساحت h1τmin و یک بخش سهمی وار با مساحت زیر تشکیل می شود:

با جمع مساحت دو بخش مذکور و ضرب نتیجه آن در ضخامت جان و ترکیب کردن عبارت ها، رابطه نیروی برشی کل برای جانِ تیر تعیین می شود:

برای تیرهای بال پهن معمول، نیروی برشی موجود در جان 90 تا 98 درصد کل نیروی برشی موجود در سطح مقطع است. باقی این نیروها توسط بال های تیر تحمل می شوند.

به دلیل سهم بالای جانِ تیر در تحمل نیروی برشی، طراحان در اغلب موارد با تقسیم نیروی برشی کل بر مساحت جان، مقدار تقریبی تنش برشی ماکسیمم را محاسبه می کنند. نتیجه این محاسبات، تنش برشی میانگین در جانِ تیر خواهد بود:

معمولاً در تیرهای بال پهن، مقدار تنش میانگین بین 10± تنش برشی ماکسیمم حاصل از رابطه بالا قرار می گیرد. از این رو، رابطه بالا می تواند به عنوان یک روش راحت برای تخمین تنش برشی ماکسیمم در نظر گرفته شود.

محدودیت های محاسبه تنش های برشی:
روابط ابتدایی معرفی شده در این مقاله برای تعیین تنش های برشی عمودی موجود در جانِ یک تیر بال پهن قابل استفاده هستند.

اگرچه، در هنگام ارزیابی این تنش ها در بال تیر دیگر نمی توان مقدار تنش های برشی بر روی عرض مقطع (عرض b بال ها) را ثابت در نظر گرفت. از این رو، برای این نواحی نمی توان از رابطه برش به منظور تعیین تنش های برشی استفاده کرد.

محل اتصال جان به بال بالایی تیر در y1=h1/2 را در نظر بگیرید. عرض سطح مقطع در این محل به طور ناگهانی از t به b تغییر می کند.

تنش های برشی موجود بر روی سطوح آزاد ab و cd باید برابر با صفر باشد؛ در حالی که مقدار این تنش ها در خط bc برابر τmin است.

این مشاهدات نشان می دهند که توزیع تنش های برشی در محل اتصال جان و بال بسیار پیچیده بوده و توسط روش های ابتدایی قابل ارزیابی نیست.

علاوه بر این، تحلیل تنش در ماهیچه های تیر (گوشه های b و c در مثال بالا) نیز از پیچیدگی بالایی برخوردار است.

ماهیچه های موجود در تیرهای بال پهن به منظور جلوگیری از افزایش بسیار زیاد تنش ها در نواحی مذکور به کار برده می شوند. به علاوه، این ماهیچه ها توزیع تنش بر روی جانِ تیر را نیز تغییر می دهند.

با توجه به نکات ارائه شده، رابطه برش برای تعیین تنش های برشی عمودی موجود در بال های تیر قابل استفاده نیستند.

با این وجود، این رابطه نتایج قابل قبولی از تنش های برشی افقی موجود در این بخش ها را ارائه می دهد.