بارگذاری متحرک در تیرها

بارگذاری متحرک در تیرها:

تک بارِ متحرک:
در اولین حالت، باری به صورت تک نیرو را در نظر بگیرید که روی یک تیر در حال حرکت است.

با توجه به مطلب نیروی برشی و گشتاور خمشی می توان گفت که گشتاور هنگامی ماکزیمم است که نیرو در وسط قرار داشته باشد و نیروی برشی نیز زمانی ماکزیمم است که بار در نزدیکی یکی از تکیه گاه ها قرار گیرد.

در شکل زیر محل قرار گیری نیرویPبرای ماکزیمم شدن نیروی برشی و گشتاور خمشی نشان داده شده است.

مقادیر نیرو و گشتاور ماکزیمم برابرند با:

دو بار متحرک:
برای بار متحرک قرار گرفته روی یک تیر، حالتی را در نظر می گیریم که در آن دو بار به تیر وارد می شوند. هم چنین یکی از بار ها بزرگ تر از دیگری است. در شکل زیر تیر به همراه این دو بار نشان داده شده اند.

در این حالت نیز ماکزیمم مقدارِ نیروی برشی در تکیه گاه ها زمانی رخ می دهد که نیروی بزرگ تر روی تکیه گاه قرار داشته باشد. هم چنین در این حالت مقدار ماکزیممم گشتاور برابر است با:

سه یا چند بار متحرک:
در حالتی عمومی، گشتاور خمشیِ ایجاد شده در نتیجه یک بار، زمانی ماکزیمم است که مرکز تیر بین بار و برآیند بار ها قرار گرفته باشد. معمولا طبق این قانون گشتاور ماکزیمم در نتیجه هریک از بار ها به دست آمده و بیشترین مقدار آن به عنوان مقدار طراحی در نظر گرفته می شود.

بیشترین مقدار نیروی برشی نیز در عکس العمل زمانی رخ می دهد که برآیند بار های وارد شده به تیر در نزدیک ترین موقعیت ممکن به تکیه گاه ها باشند.

بنابراین در حالتی که بزرگ ترین نیرو روی تکیه گاه قرار می گیرد نیز می توان گفت احتمال رخ دادن ماکزیمم نیروی برشی در تکیه گاه وجود دارد.

مثال 1:
مطابق با شکل زیر تیری را در نظر بگیرید که دو بارِ40kNو60kNبه آن وارد می شوند. فرض کنید دو بار درفاصله5متری از هم قرار گرفته اند. همچنین طول کل تیر برابر با10متر است (توجه داشته باشید که فاصله دو بار ثابت بوده اما آن ها می توانند روی تیر حرکت کنند). با این فرضیات، بیشترین نیروی برشی و گشتاور خمشی وارد شده به تیر را به دست آورید.

در اولین قدم دو نیرو را با نیروی معادلRجایگزین می کنیم. در قدم بعد، می توان فاصلهxرا از لبه سمت راست در نظر گرفته و گشتاور معادل نیروی برآیند را در آن به دست آورد. با برابر قرار دادن این گشتاور با گشتاور ناشی از وارد شدن نیروی سمت چپ، اندازهxبه دست می آید.

R=40+60=100kN

xR=40(5)

x=200/R

x=200/100

x=2m

به منظور به دست آوردن ماکزیمم مقدار گشتاور، در ابتدا عکس العملR1را به دست می آوریم. لذا داریم:

ΣMR2=0

10R1=3.5(100)

R1=35kN

از طرفی همان طور که عنوان شد، ماکزیمم گشتاور ناشی از هر نیرو، بین آن نیرو و نیروی برآیند است. بنابراین در فاصله3.5از سمت راست، ماکزیمم مقدار گشتاور رخ می دهد.

Mmax=3.5R1=3.5×35=122.5kN.m

دقیقا به روشی مشابه، گشتاور ماکزیمم ناشی از نیروی60kNنیز به صورت زیر قابل محاسبه است.

ΣMR1=0

10R2=4(100)

R2=40kN

ماکزیمم مقدار گشتاور نیز مشابه با نیروی قبل برابر است با:

Mmax=4R2=4×40=160kN.m

تاکنون ماکزیمم گشتاور ایجاد شده در نتیجه هریک از بار ها به دست آمد. اما پاسخ درست، پاسخ بزرگ تر است. لذا بیشترین مقدار گشتاور برابر است با:

Mmax=160kN⋅m

ماکزیمم مقدار نیروی برشی نیز زمانی رخ می دهد که نیروی بزرگ تر در تکیه گاه قرار داشته باشد. در این حالت عکس العملR2باید در اولین قدم محاسبه شود. در این حالت عکس العملR2برابر است با:

ΣMR1=0

10R2=100(8)

R2=80kN

در نتیجه ماکزیمم مقدار نیروی برشی برابر است با:

Vmax=80kN

مثال 2:
مطابق با شکل زیر تراکتوری به وزنِ3000lbرا در نظر بگیرید که فاصله دو چرخ آن برابر با9ftاست. در محل قرار گیری چرخ بزرگ تر وزنِ1800lbتحمل می شود. گشتاور و نیروی برشی ماکزیمم در هنگام عبور این تراکتور روی یک تیر طول14ftرا به دست آورید.

به منظور حل در ابتدا باید نیروی ناشی از وزن را محاسبه کنیم. بدین منظور داریم:

R=Wr+Wf

3000=1800+Wf

Wf=1200lb

با فرض قرار داشتن نیروی معادل در فاصلهxاز لبه سمت چپ داریم:

Rx=9Wf

3000x=9(1200)

⇒x=3.6ft

بنابراین فاصله نیروی معادل تا چرخ سمت راست نیز برابر است با:

9-x=5.4ft

با توجه به این که وسط تیر بین دو نیروی معادل (Wr) و بار ناشی از چرخ (R) بزرگ تر قرار گرفته، می توان گفت بار ناشی از چرخ کوچک تر روی تیر قرار نگرفته است. در این حالت فقط بار ناشی از چرخ بزرگ تر، روی تیر نیز اعمال می شود.

ماکزیمم گشتاور در این شرایط زمانی رخ می دهد که بار چرخ بزرگ تر دقیقا در وسط تیر قرار گرفته باشد. در این حالت عکس العمل ها برابرند با:

R1=R2=12(1800)

R1=900lb

این حالت از بارگذاری نیز در شکل زیر ارائه شده.

در این حالت ماکزیمم میزان گشتاور زیر نیرویWrبرابر می شود با:

Mmax=7R1

Mmax=7(900)=6300lb.ft

محل نیرو ها در حالتِ ماکزیمم میزان بارگذاری نشان داده شده اند.

برای به دست آوردنِ میزان گشتاور در نتیجه وارد شدن نیرویWfدر اولین قدم باید عکس العمل های تیکه گاه را به دست آوریم. عکس العملِR2برابر است با:

∑MR1=0

14R2=4.3R⇒R2=921.43lb

بنابراین گشتاور ماکزیمم ناشی از نیرویWfبرابر می شود با:

Mmax=4.3R2

⇒Mmax=4.3×921.43=3962.1

در نتیجه با مقایسه حالت های فوق، ماکزیمم میزان گشتاور برابر می شود با:

max(6300,3962.1)=6300

ماکزیمم میزان نیروی برشی نیز هنگامی رخ می دهد که بار ناشی از چرخ بزرگ تر روی تکیه گاه قرار داشته باشد. در این حالت در ابتدا باید عکس العمل تکیه گاه را در نقطه 1 به دست آورد.

در نتیجه بیشترین مقدار ممکن برای نیروی برشی نیز برابر می شود با:

Vmax=2228.57lb