تغییر طول عضو های تحت بار محوری (فنر)

تغییر طول عضو های تحت بار محوری (فنر):

اکثر طراحان به منظور محاسبه تغییر طول اجزای تشکیل دهنده سازه های تحت بار محوری، معمولاً محاسبات خود را از فنرهای مارپیچی شروع می کنند.

این فنرها کاربرد بسیار گسترده ای در ماشین ها و دستگاه های مختلف دارند. به عنوان مثال، در ساخت هر خودرو از ده ها فنر مارپیچی استفاده می شود. شکل زیر، نمونه ای از یک فنر مارپیچی تحت شرایط بارگذاری محوری را نمایش می دهد.

هنگامی که یک بار در راستای محور فنر اعمال می شود، طول فنر هم جهت با راستای اعمال بار افزایش یا کاهش می یابد.

در صورت اعمال بار به سمت بیرون فنر (مانند شکل بالا)، طول فنر افزایش خواهد یافت. در این شرایط گفته می شود که فنر تحت «کشش» (Tension) قرار دارد.

اگر بار به سمت داخل فنر اعمال شود، طول فنر کاهش خواهد یافت. در این شرایط گفته می شود که فنر تحت «فشار» (Compression) قرار دارد.

این تعریف به معنای وجود تنش های کششی یا فشاری درون هر یک از حلقه های فنر نیست و هر یک از این حلقه ها در ابتدای بارگذاری با برش مستقیم و پیچش مواجه می شود. با این وجود، نحوه کاهش یا افزایش طول یک فنر را می توان معادلِ رفتار یک میله تحت کشش یا فشار در نظر گرفت.

به همین دلیل، اصطلاحات مورد استفاده برای تحلیل فنر و میله مشابه یکدیگر هستند. شکل زیر، وضعیت یک فنر قبل و بعد از تغییر طول را نمایش می دهد. طول اولیه این فنر L است و با اعمال نیروی کششی P، این طول به اندازه δ افزایش می یابد (L+δ).

اگر رفتار فنر به صورت الاستیک خطی باشد، میزان تغییر طول آن با میزان بار اعمال شده متناسب خواهد بود:

k و f: ثابت های تناسب

ثابت k با عنوان «سختی» (Stiffness) فنر شناخته می شود. این ثابت، نیروی مورد نیاز برای ایجاد یک واحد تغییر طول را نمایش می دهد (k=P/δ).

ثابت f نیز با عنوان «انعطاف پذیری» (Flexibility) فنر شناخته می شود. این ثابت، بیانگر تغییر طول ناشی از یک واحد نیرو است (f=δ/P). توجه داشته باشید که می توان این روابط را برای شرایط بارگذاری فشاری نیز استفاده کرد.

با توجه به تعریف سختی و انعطاف پذیری، این دو کمیت معکوس یکدیگر هستند:

با اعمال یک بارِ مشخص و اندازه گیری میزان تغییر طول ناشی از آن، انعطاف پذیری فنر به راحتی محاسبه می شود. به این ترتیب، سختی فنر نیز با استفاده از رابطه بالا به دست می آید.

سختی و انعطاف پذیری به ترتیب با عناوین «ثابت فنر» (Spring Constant) و «انطباق» (Compliance) نیز شناخته می شوند. خواص به دست آمده از روابط بالا در تحلیل و طراحی بسیاری از دستگاه های مکانیکی دارای فنر کاربرد دارد.

میله منشوری:
بر اثر اعمال بارهای کششی یا فشاری بر روی میله ها، طول آن ها افزایش یا کاهش می یابد. به منظور تحلیل این رفتار، میله منشوری نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. میله منشوری عضوی با محور طولی مستقیم و سطح مقطع ثابت است.

در اکثر منابع، به منظور نمایش میله های منشوری از مقطع دایره ای استفاده می شود. با این وجود، میله های مورد استفاده در سازه های مختلف می توانند اشکال متنوعی داشته باشند.

شکل زیر، تغییر طول δ یک میله منشوری در هنگام اعمال بار کششی P را نمایش می دهد. اگر راستای اعمال بار از مرکز هندسی سطح مقطع انتهای میله عبور کند، توزیع تنش درون میله یکنواخت خواهد بود. به این ترتیب می توان تنش نرمال در مقاطع دیگر را با استفاده از رابطه σ =P/A محاسبه کرد. A، مساحت سطح مقطع میله است.

علاوه بر این، در صورت همگن بودن ماده تشکیل دهنده میله، میزان کرنش محوری نیز از رابطه ε=δ/L به دست می آید. کمیت های δ و L، به ترتیب تغییر طول ایجادشده و طول اولیه میله را نمایش می دهند.

اگر ماده تشکیل دهنده میله از قانون هوک پیروی کند (ماده الاستیک خطی)، رابطه بین تنش و کرنش طولی از طریق σ=Eε بیان می شود. E، مدول الاستیسیته ماده را نمایش می دهد. با ادغام این رابطه با ε=δ/L و σ =P/A، معادله زیر برای محاسبه میزان تغییر طول میله به دست می آید:

بر اساس این رابطه، تغییر طول با میزان بار اعمال شده و طول اولیه میله رابطه مستقیم و با مدول الاستیسیته و مساحت سطح مقطع رابطه عکس دارد. حاصل ضرب EA با عنوان «صلبیت محوری» (Axial Rigidity) میله شناخته می شود.

رابطه بالا برای شرایط بارگذاری فشاری نیز قابل استفاده است. افزایش یا کاهش طول یک عضو معمولاً به وسیله بازرسی آن مشخص می شود.

با این وجود، در برخی از موارد (نظیر تحلیل یک میله نامعین استاتیکی)، مشخص کردن نوع تغییر طول میله با استفاده از قواعد علامت گذاری صورت می گیرد. بر اساس این قواعد، علامت مثبت برای افزایش طول و علامت منفی برای کاهش طول در نظر گرفته می شود.

در اکثر مواقع، میزان تغییر طول میله (δ) در مقایسه با طول اولیه آن (L) بسیار کوچک است؛ مخصوصاً اگر ماده تشکیل دهنده میله از جنس فولاد یا آلومینیوم باشد.

به عنوان مثال، اگر یک سازه آلومینیومی با طول 75 اینچ (in) و مدول الاستیسیته 10500 کیلو پوند بر اینچ مربع (ksi)، در معرض یک تنش فشاری با مقدار 7000 پوند بر اینچ مربع (psi) قرار گرفته باشد، طول سازه به اندازه 0.05 اینچ کوتاه تر می شود (δ).

به این ترتیب، نسبت تغییر طول به طول اولیه برابر با 0.05/75 یا 1/1500 خواهد بود (ε). در نتیجه، طول نهایی میله 0.999 برابر طول اولیه آن است. در صورت کوچک بودن میزان تغییر طول می توان به جای طول نهایی از طول اولیه در محاسبات استفاده کرد.

سختی و انعطاف پذیری یک میله منشوری با استفاده از روابطی مشابه با روابط معرفی شده برای ثابت های فنر تعیین می شوند.

سختی، نیروی مورد نیاز برای ایجاد یک واحد تغییر طول و انعطاف پذیری، تغییر طول ناشی از یک واحد نیرو است. به این ترتیب، برای یک میله منشوری داریم:

مقادیر سختی و انعطاف پذیری عضوها، نقش ویژه ای در تحلیل سازه ها با استفاده از روش های کامپیوتری دارند.