شرایط محاسبه نسبت پواسون

شرایط محاسبه نسبت پواسون:
برای یک ماده به خصوص، نسبت پواسون در محدوده الاستیک خطی ثابت باقی می ماند.

بنابراین با افزایش یا کاهش بارگذاری، میزان کرنش جانبی در هر نقطه از یک میله منشوری متناسب با کرنش محوری آن تغییر می کند.

با این وجود، به منظور ثابت بودن کرنش های جانبی در سراسر میله هنگام اعمالِ یک بار مشخص باید شرایط دیگری نیز برقرار باشد. در ادامه به توضیح این شرایط می پردازیم.

شرط اول:

برای یکنواخت بودن کرنش جانبی در سراسر میله، همگن بودن ماده است.به این منظور باید مواد تشکیل دهنده میله در تمام نقاط دارای ترکیبات یکسان و در نتیجه خواص الاستیک مشابه باشند.

اگرچه، همگن بودن ماده در تمامی نقاط به معنای یکسان بودن خواص الاستیک آن در تمام جهات نیست. به عنوان مثال، مدول الاستیسیته موادی نظیر چوب در راستای جانبی با مدول الاستیسیته آن در راستای محوری تفاوت دارد. به همین دلیل به سراغ شرط دوم می رویم.

شرط دوم:
برای یکنواخت بودن کرنش جانبی در سراسر میله، یکسان بودن خواص الاستیک مواد در راستای عمود بر محور طولی است.

شرایط بالا برای اکثر مواد فلزی صدق می کند. به همین دلیل، کرنش های جانبی در میله های فلزی تحت بارگذاری یکنواخت کششی در تمام نقاط میله یکسان خواهند بود. به علاوه، این کرنش ها در تمام جهات مقدار برابری خواهند داشت.

به موادی خواص آن ها در تمام جهات (محور، جانبی و جهات دیگر) یکسان است، «همسانگرد» (Isotropic) گفته می شود.

اگر خواص ماده ای در جهات مختلف تغییر کند، آن ماده «ناهمسانگرد» (Anisotropic) خواهد بود.

حل یک مثال کاربردی:
یک لوله فولادی با طول 4 فوت (L)، قطر خارجی 6 اینچ (d2) و قطر داخلی 4.5 اینچ (d1) در اثر اعمال نیروی محوری 140 کیلو پوند (P) تحت فشار قرار گرفته است (شکل زیر).

مدول الاستیسیته این فولاد برابر 30000 کیلو پوند بر اینچ مربع، نسبت پواسون آن 0.30 و تنش تسلیم آن 50 کیلو پوند بر اینچ مربع است.

با توجه به اطلاعات مسئله، میزان کاهش طول (δ)، کرنش جانبی (‘ε)، میزان افزایش قطر خارجی (Δd2)، میزان افزایش قطر داخلی (Δd1) و میزان افزایش ضخامت دیواره لوله (Δt) را محاسبه کنید.

مساحت سطح مقطع (A) و تنش طولی (σ) به صورت زیر محاسبه می شود:

علامت منفی تنش نشان دهنده فشاری بودن بار اعمال شده است. به دلیل کوچک تر بودن تنش از تنش تسلیم، ماده در محدوده الاستیک خطی رفتار خواهد کرد. میزان کرنش محوری میله از قانون هوک به دست می آید:

علامت منفی این کرنش، بیانگر کوتاه شدن طول لوله است.

اکنون با مشخص شدن کرنش محوری می توانیم تغییرات طول لوله را محاسبه کنیم:

علامت منفی این تغییرات، به کوتاه شدن طول لوله اشاره دارد.

به این ترتیب، کرنش جانبی از رابطه نسبت پواسون قابل تعیین خواهد بود:

علامت مثبت کرنش جانبی ‘ε، افزایش ابعاد جانبی لوله را نشان می دهد (تأثیر بارگذاری فشاری).

میزان افزایش قطر خارجی از ضرب کرنش جانبی در قطر به دست می آید:

میزان افزایش قطر داخلی نیز به روش مشابه تعیین می شود:

میزان افزایش ضخامت دیواره لوله نیز از همین روش استفاده می کنیم:

برای اطمینان از صحت میزان افزایش محاسبه شده برای دیواره لوله، اختلاف تغییرات قطر خارجی با تغییرات قطر داخلی را تقسیم بر دو می کنیم:

همان گونه که مشاهده می کنید، دو مقدار به دست آمده با هم برابر هستند.

توجه داشته باشید که در حین اعمال فشار، تمام کمیت ها از قبیل قطر خارجی، قطر داخلی و ضخامت دیواره افزایش می یابد.

توجه: مقدار عددی به دست آمده در این مثال نشان می دهند که تغییرات ابعاد مواد سازه ای در شرایط بارگذاری نرمال بسیار کوچک هستند.

علیرغم کوچک بودن این مقادیر، در تحلیل های به خصوص و در روش های تجربیِ تعیین تنش و کرنش، تغییرات ابعاد می توانند اهمیت بالایی داشته باشند.